资料分析 | helt.

一、考察范围

主要测查报考者对文字、数字、图表等统计性资料的综合理解与分析加工能力。

综合理解能力：理解题目要求、名词含义、材料的逻辑框架以及材料中各项数据之间的关系。
分析加工能力：根据数据进行分析、计算，并得到最终结果。

如何提升这两项能力：

打牢基础考点，看到题目就能迅速定位题型；
提高检索速度，从复杂材料中迅速找到需要的数据；
理清数据关系，快速判断材料中不同数据之间的联系；
熟练速算技巧，用尽可能少的步骤得到足够精确的答案。

二、基本概念

基期与现期

概念	含义
基期值	特定对象在以前某个时间点上的数值
现期值	特定对象在现在这个时间点上的数值

增量

增量是现期值与基期值之差，有四种等价写法：

增量 = 现期值 − 基期值
     = 基期值 × 增速
     = 现期值 − 现期值 ÷ (1 + 增速)
     = 现期值 ÷ (1 + 增速) × 增速

同比增量：基期取上一年同期时的增量。
环比增量：基期取上一个连续周期时的增量。
变化量：增量的绝对值。

增速

增速是增量占基期的比例，与增长率、增幅、涨跌幅同义。

增速 = 增量 ÷ 基期值
     = 现期值 ÷ 基期值 − 1

同比增速 = 同比增量 ÷ 上一年同期值
环比增速 = 环比增量 ÷ 上一周期值

注意：两者的分母都是基期值，只是"基期"选取的参照周期不同。

降幅与变化幅度

降幅 = 减少量 ÷ 基期值 = (基期值 − 现期值) ÷ 基期值      （等同于降速）

变化幅度 = 变化量 ÷ 基期值

三、数据处理与运算分析

3.1 运算顺序

遵循两个原则：

先算好算的部分；
先算影响大的部分。

3.2 调整位数

资料分析都是选择题，选项一般处于同一量级，因此只需算出有效数字即可。若选项跨越了不同量级，则先算有效数字，最后再统一确定量级。

3.3 误差分析

想要算得快，就必须允许估算带来误差；关键是对误差心中有数。

3.3.1 加法与减法误差

运算	误差同方向	误差反方向
加法	累积	抵消
减法	抵消	累积

3.3.2 截位误差

截取到两位有效数字，误差小于 10%；
截取到三位有效数字，误差小于 1%；
以此类推，每多保留一位，误差量级下降一个数量级。

3.3.3 乘法误差

乘法运算中，误差要看占比，即偏差占原始数据的百分比。例如：

1 与 2 相差 100%；
1000 与 1005 只相差 0.5%（千分之五）。

误差方向的影响：同方向累积，反方向抵消。

举例：

      110 × 90        = 9 900
(110 − 10) × (90 + 10) = 100 × 100 = 10 000

两边各改动约 10%，方向相反，结果只差 100，即约 1%。原因可由恒等式看出：

(1 + a) × (1 − a) = 1 − a²

当 a ≤ 10% 时，a² ≤ 1%。所以乘法两边改变幅度都在 10% 以内且方向相反时，总误差小于 1%。

3.3.4 除法误差

方向影响与乘法相反：同方向抵消，反方向累积。

同样地，改动幅度应控制在 10% 以内。

3.3.5 观察选项差距，选择估算尺度

当估算带来的误差远小于选项之间的差距时，就可以大胆估算。

3.3.6 选择计算对象，缩小误差量级

同一个问题往往有多种列式，应优先选择误差量级更小的那一种。

以「已知现期值与增速，求基期值」为例，设增速为 r：

方法一：一步除法

基期值 = 现期值 ÷ (1 + r)

选项接近时，这一步除法要求的精度很高，容易算错。

方法二：先求增量，再做减法（r 较小时更稳）

增量  = 基期值 × r
      = 现期值 ÷ (1 + r) × r
      ≈ 现期值 × r × (1 − r)

基期值 = 现期值 − 增量

推导思路：把基期值直接看作现期值，相当于放大到了 (1 + r) 倍，因此只要把增速、现期值或最终结果其中之一缩小到 (1 − r) 倍即可补偿回来。

这样做的意义在于：增量本身数值很小，即使大胆估算，摊到基期值上的影响也可以忽略。

例题

2021 年，全国城市供水总量 673.34 亿立方米，同比增长 6.96%。

2020 年，全国城市供水总量约为：

A. 600 亿立方米　B. 620 亿立方米　C. 630 亿立方米　D. 724 亿立方米

【解析】先看选项：B 与 C 相差 10，约为 1%～2%，精度要求较高，一步除法风险大。改用方法二：

增量  ≈ 673.34 × 7% × (1 − 7%)
      ≈ 47.1 × 0.93
      ≈ 43.8

基期值 ≈ 673.34 − 43.8 ≈ 629.5

最接近 630，选 C。既快又稳。

3.3.7 间接误差：多步运算的误差传导

当题目的运算逻辑不止一步时，每一步的误差都会向后传导并累积，必须综合评估，再决定能否估算。

例题

2017 年末，全国医疗卫生机构床位 794.0 万张，其中：医院 612.0 万张（占 77.1%），基层医疗卫生机构 152.9 万张（占 19.3%）。与上年比较，床位增加 53.0 万张，其中：医院床位增加 43.1 万张，基层医疗卫生机构床位增加 8.7 万张。每千人口医疗卫生机构床位数由 2016 年的 5.37 张增加到 2017 年的 5.72 张。

从所给资料中可以推算，2017 年末全国人口总数比 2016 年末的增加量最接近：

A. 741 万　B. 822 万　C. 895 万　D. 938 万

【解析】由「床位数 ÷ 每千人床位数 × 1000 = 人口数」列式：

2017 年末人口 = 794.0 ÷ 5.72 × 1000（万人）
2016 年末人口 = (794.0 − 53.0) ÷ 5.37 × 1000 = 741.0 ÷ 5.37 × 1000（万人）

增加量 = 794.0 ÷ 5.72 × 1000 − 741.0 ÷ 5.37 × 1000

能不能估算？ 表面上看，选项之间最小相差约 73 万（822 与 895），差距不算小；但两个被减数都在 13.8 亿 ≈ 138 000 万的量级上，要让它们的差值误差控制在几十万以内，每一步除法的相对误差就必须小于万分之一（0.01%）。因此这道题不能估算，只能精算。

794.0 ÷ 5.72 × 1000 ≈ 138 811（万人）
741.0 ÷ 5.37 × 1000 ≈ 137 988（万人）

增加量 ≈ 138 811 − 137 988 = 823（万人）

最接近 822 万，选 B。

小结：减法运算会把两个大数的误差放大到一个小数上。凡是「大数相减得小数」的题型，都要警惕间接误差，优先考虑精算或换用误差更小的列式。

四、放缩运算

估算时，为了让结果更准确，需要主动调整误差：如果某一步的处理让结果偏大，就要在过程中或结果上做一次对应的缩小；反之亦然。一放一缩、相互抵消，这就是放缩。

放缩有两个落点：

过程放缩：在算式内部补偿，往往能顺带减少位数，算得更快；
结果放缩：先按简化后的算式求出粗值，再对结果整体补偿，思路更清晰、更不容易搞错方向。

4.1 除法放缩

依据：分子、分母同比例变化，商不变。

A ÷ B = [A × (1 + r)] ÷ [B × (1 + r)]
      = (A + A × r) ÷ (B + B × r)

目的是把分母凑成 5、8、500 这类好算的数，从而减少除法的位数。

例题

年份软件业务收入（亿元）
2017 55 200
2018 63 061

2018 年我国软件业务收入比上年增长：

A. 12.6%　B. 14.2%　C. 16.2%　D. 19.2%

年份	软件业务收入（亿元）
2017	55 200
2018	63 061

【列式】

增速 = (63 061 − 55 200) ÷ 55 200
     = 7 861 ÷ 55 200
     ≈ 78.6 ÷ 552

方法一：过程放缩（分子分母同步缩小）

把分母凑到 500，缩小幅度为 52 ÷ 552 ≈ 9%；分子同步缩小 9%：

分母：552 − 52   = 500
分子：78.6 − 7.4 ≈ 71.2

增速 ≈ 71.2 ÷ 500 ≈ 14.2%

方法二：结果放缩（只动分母，最后补偿）

只把分母缩小 9%，商就被放大了约 9%，因此在结果上再缩回 9%：

78.6 ÷ 500 = 15.72%

15.72% × (1 − 9%) ≈ 15.72% − 1.42% ≈ 14.3%

两种方法都指向 B。

4.2 乘法放缩

依据：乘式两边反方向做小幅度调整，结果几乎不变（即前文的 (1 + a) × (1 − a) = 1 − a²）。目的同样是减少位数。

例题

2016 年，该省电话用户数为 1.69 亿，其中固定电话用户数为 2 609.7 万，移动电话用户数为 14 349 万，分别比上年减少 197.4 万户和 203.1 万户。移动电话中 4G 用户数为 9 085.30 万，占移动电话用户的比重由上年的 38.5% 提升至 63.3%。

2016 年该省移动电话用户中 4G 用户数比 2015 年大约增加了多少万？

A. 3 154　B. 3 483　C. 3 844　D. 4 239

【列式】2015 年移动电话用户数 = 14 349 + 203.1 = 14 552.1 万，对应的 4G 占比是上年的 38.5%：

增加量 = 9 085.3 − (14 349 + 203.1) × 38.5%
       ≈ 9 085  − 14 552 × 38.5%

第一步：缩一边，换出好算的分数。 把 14 552 缩小不到 2%，取 14 300，此时可以交换有效数字：

14 300 × 38.5%  ⟺  38 500 × 14.3%  =  38 500 × 1/7

第二步：把缩掉的补回来，补在哪一边？ 观察 38 500，它的 2% 约为 500，补上去正好凑成 39 000，位数反而更少，所以选择过程放缩：

增加量 ≈ 9 085 − 39 000 × 1/7
       = 9 085 − 5 571
       = 3 514

最接近 3 483，选 B。

这里结果偏大约 30，是因为 14 552 → 14 300 实际缩小了约 1.7%，38 500 该补的是 700 左右而非 500。但选项间距很大，这点误差不影响判断。

若选项间距更小，就改用结果放缩，先算干净的粗值，再整体补偿：

增加量 ≈ 9 085 − 38 500 × 1/7 × 102%
       = 9 085 − 5 500 × 102%
       = 9 085 − 5 610
       = 3 475

与 B（3 483）非常接近。

五、快速计算

5.1 化除为乘

适用条件：增速 r 小于 10%，已知现期值求增量（前文 3.3.6 已用过一次）。

原理是增量 = 基期值 × 增速。用放缩思想把基期值直接看作现期值，相当于放大了 r，因此把增速或结果缩小 r 补回来即可：

增量 = 基期值 × r ≈ 现期值 × r × (1 − r)

例题

2020 年全国粮食总产量 66 949 万吨，同比增长 0.9%。

2020 年全国粮食总产量比 2019 年约增产（　）。

A. 119 万吨　B. 386 万吨　C. 597 万吨　D. 623 万吨

【列式】只保留有效数字，量级最后统一确定：增量 ≈ 669 × 9。

过程放缩（把现期值缩小 0.9%）：

(669 − 6) × 9 = 663 × 9 = 5 967  →  约 597 万吨

结果放缩（先算粗值，再缩小 0.9%）：

669 × 9 = 6 021           →  约 602 万吨
602 × (1 − 0.9%) ≈ 602 − 5 = 597 万吨

两种方法都选 C。

5.2 份数思想

把百分数看作分数，用"份"来表示三者的关系。例如把 14.3% 看作 1/7，则：基期 7 份、增量 1 份、现期 8 份。

于是增量 = 现期值 ÷ 8，基期值 = 现期值 × 7 ÷ 8，一步除法即可。

常用对照：

增速	分数	基期 : 增量 : 现期
33.3%	1/3	3 : 1 : 4
25.0%	1/4	4 : 1 : 5
20.0%	1/5	5 : 1 : 6
16.7%	1/6	6 : 1 : 7
14.3%	1/7	7 : 1 : 8
12.5%	1/8	8 : 1 : 9
11.1%	1/9	9 : 1 : 10
10.0%	1/10	10 : 1 : 11

份数法同样可以配合放缩使用。

例题

2016 年，该省小微服务业样本企业实现营业收入 80.1 亿元，同比增长 15.4%。

2016 年，该省小微服务业样本企业的营业收入比 2015 年大约多多少亿元？

A. 5.3　B. 10.7　C. 12.3　D. 23.0

【思路】把 15.4% 近似看作 14.3%（即 1/7），增速被看小了 1.1 个百分点，相对缩小了

1.1 ÷ 15.4 = 11 ÷ 154 ≈ 7%

增速看小 ⇒ 增量看小，所以要放大 7% 补回来。

过程放缩（补在现期值上）：

现期值 ≈ 80.1 × (1 + 7%) = 80.1 + 5.6 = 85.7

增量 = 85.7 ÷ 8 ≈ 10.7

结果放缩（补在结果上）：

假想增量 = 80.1 ÷ 8 ≈ 10.0
假想基期 = 80.1 − 10.0 = 70.1

增量 ≈ 10.0 + 70.1 × 1.1% ≈ 10.0 + 0.77 ≈ 10.8

（等价的比例写法：10.0 × (1 + 7%) ≈ 10.7。）

两种方法都选 B。

六、增速的累积与拆分

当一个量经历连续两期增长，或者由两个量相乘 / 相除得到时，几个增速之间存在固定的换算关系。掌握它，就可以在"总增速"与"分段增速"之间自由地累积与拆分。

6.1 乘积增长率

第一年增长 10%，第二年又增长 10%，最终变为原来的 1.1 × 1.1 = 1.21 倍，即总增长 21%——不是 20%，因为第二年的 10% 是在已经涨过一次的基数上算的。

用增长率直接算：

总增速 r = r₁ + r₂ + r₁ × r₂

验证：10% + 10% + 10% × 10% = 20% + 1% = 21%。✓

适用场景：隔年增长（已知两段同比增速，求跨两年的总增速），以及 A = B × C 型的乘积关系。

例题

2021 年 1—4 月，某省全社会用电量 284.59 亿千瓦时，同比增长 7.9%。从不同产业看，第一产业用电量 6.36 亿千瓦时，同比增长 29%，增速比上年同期提高 6.2 个百分点。

与 2019 年同期相比，2021 年 1—4 月该省第一产业用电量增长了约（　）

A. 46%　B. 52%　C. 58%　D. 61%

【解析】"增速比上年同期提高 6.2 个百分点"说明 2020 年 1—4 月的同比增速为 29% − 6.2% = 22.8%，正是 2020 年相对 2019 年的那一段：

r₁ = 29%（2021 比 2020）
r₂ = 22.8%（2020 比 2019）

r = r₁ + r₂ + r₁ × r₂ = 51.8% + 29% × 22.8%

末项用乘法放缩，一边看大、一边看小：

29% × 22.8% ≈ 33.3% × 20% = 1/3 × 20% ≈ 6.7%

r ≈ 51.8% + 6.7% = 58.5%

选 C。

6.2 比值增长率

当列式为 C = A ÷ B 时：设 A 变为原来的 1.21 倍、B 变为原来的 1.1 倍，则 C 变为原来的 1.21 ÷ 1.1 = 1.1 倍。用增速表示：

r_C = (r_A − r_B) ÷ (1 + r_B)

验证：r_A = 21%，r_B = 10%，则 r_C = (21% − 10%) ÷ 1.1 = 10%。✓

两个 10% 用乘积增长率累积成 21%，21% 又用比值增长率拆分回 10%——这正是本节标题"累积与拆分"的含义：两个公式互为逆运算。

例题一：把总增速拆开

2021 年 1—2 月，商品房销售面积 17 363 万平方米，同比增长 1.05 倍，比 2019 年 1—2 月增长 23.3%。

2020 年 1—2 月，全国商品房销售面积同比增长（　）

A. −40%　B. −32.5%　C. 40%　D. 17.2%

【解法一：看作倍数】2021 年是 2020 年的 2.05 倍，是 2019 年的 1.233 倍。把 1.233 倍拆成 2.05 倍与一个待求倍数 x：

x = 1.233 ÷ 2.05

分子分母同步缩小 2% 多一点（除法放缩）：

x ≈ 1.2 ÷ 2 = 0.6

2020 年只有 2019 年的 0.6 倍，即增速 −40%，选 A。

【解法二：套比值增长率公式】总增速 r = 23.3%，已知段 r₁ = 105%，求剩下那段 r₂：

r₂ = (r − r₁) ÷ (1 + r₁) = (23.3% − 105%) ÷ 2.05 = −81.7% ÷ 2.05

分子分母同步缩小 2% 多一点：

r₂ ≈ −80% ÷ 2 = −40%

同样选 A。

例题二：直接用于比值型指标

2014 年全国棉花播种面积比 2013 年减少 2.9%，棉花总产量比 2013 年减产 2.2%。

2014 年全国棉花单位面积产量比上年约（　）

A. 提高了 5.1%　B. 提高了 0.7%　C. 降低了 5.1%　D. 降低了 0.7%

【解析】单位面积产量 = 棉花总产量 ÷ 棉花播种面积，是标准的比值型指标：

r_A = −2.2%（总产量）
r_B = −2.9%（播种面积）

r = (r_A − r_B) ÷ (1 + r_B)
  = [−2.2% − (−2.9%)] ÷ (1 − 2.9%)
  = 0.7% ÷ 97.1%
  ≈ 0.72%

选 B。

注意符号：两个增速都是负的，相减时 −2.2% − (−2.9%) = +0.7%，结果为正。这类题的干扰项（A、C 的 5.1%）正是把两个增速直接相加得来的，务必套公式。

七、拉平增长率

凡是涉及基期之间的比较（基期比、基期差、基期谁大谁小），如果两个量的增速不一致，就得分别把它们还原到基期，步骤多、误差也多。

拉平增长率的思路是：把增速小的一方"假装"也按增速大的那一方增长，给它补上一段增长，凑成一个假设现期。两边增速一致后，基期之间的关系就可以直接由现期读出来。

需要补的这段增速，公式与比值增长率同形：

拉平增长率 = (r大 − r小) ÷ (1 + r小)

假设现期 = 增速小的一方的现期 × (1 + 拉平增长率)

拉平之后：

要求的量	拉平后的算法
基期比	假设现期 ÷ 另一方现期（增速被约掉，直接就是基期比）
基期大小比较	直接比较拉平后的现期，大者基期也大
基期差	（假设现期之差）÷ (1 + r大)

7.1 基期比

先看两个小例子，理解为什么"增速一致"这么关键。

增速一致时：甲产品总销售额 110 万元，同比增长 10%；销量 11 万单，同比增长 10%。求去年单价。

基期单价 = [110 ÷ (1 + 10%)] ÷ [11 ÷ (1 + 10%)]
         = 110 ÷ 11 = 10（元/单）

两个 (1 + 10%) 直接约掉，基期比 = 现期比。

增速不一致时：把销售额的增速改为 0%，其余不变。

基期单价 = 110 ÷ [11 ÷ (1 + 10%)]
         = (110 ÷ 11) × (1 + 10%) = 11（元/单）

多出来的 (1 + 10%) 就是干扰项。换个思路——假设销售额也增长了 10%：

拉平增长率 = (10% − 0%) ÷ (1 + 0%) = 10%
假设现期   = 110 × (1 + 10%) = 121

基期单价 = 121 ÷ 11 = 11（元/单）

结果一致，但式子里不再有增速，可以放心估算。

例题

2014 年，西部地区商品房销售面积 32 068 万平方米，增长 0.6%，增速回落 0.6 个百分点；销售额 16 127 亿元，增长 3.5%，增速回落 0.6 个百分点。

2013 年西部地区商品房销售价格为：

A. 3 694 元/平方米　B. 4 674 元/平方米　C. 4 888 元/平方米　D. 5 008 元/平方米

【解析】价格 = 销售额 ÷ 销售面积，求的是二者的基期比。销售面积在分母且增速更小（0.6% < 3.5%），把它拉平到 3.5%：

拉平增长率 = (3.5% − 0.6%) ÷ (1 + 0.6%) ≈ 2.9%

基期价格 = 16 127 ÷ [32 068 × (1 + 2.9%)]

接下来这一步除法，两种放缩都可以走。

方法一：过程放缩（先把拉平算进分母）

32 068 × (1 + 2.9%) ≈ 32 068 + 932 = 33 000

基期价格 ≈ 16 127 ÷ 33 000 ≈ 161 ÷ 330

把 330 看作 333（即 1/3），分母放大了约 1%，商就偏小约 1%，补回来：

161 × 3 = 483  →  483 × (1 + 1%) ≈ 488

即约 4 888 元/平方米，选 C。

方法二：结果放缩（先算原始比值，最后整体补偿）

16 127 ÷ 32 068 ≈ 161 ÷ 320

分子分母同步放大约 4%，把分母凑成 333：

(161 + 6) ÷ (320 + 13) = 167 ÷ 333  →  167 × 3 ≈ 501

别忘了最后那一步：分母还要扩大 2.9%（拉平），所以结果要缩小 2.9%：

501 × (1 − 2.9%) ≈ 501 − 15 = 486

约 4 886 元/平方米，仍选 C。

这里的 501 对应 5 010 元/平方米，正好是干扰项 D。漏掉拉平这一步就会错选 D——命题人就是这么设选项的。

7.2 基期大小比较

已知各项的现期与增速，比较它们基期的大小。

做法：把所有现期拉平到同一增速水平，再直接比较拉平后的现期即可——增速一致时，现期大的基期一定大。

实战中不必把每一项都拉平，先用两条规则做排除：

现期明显偏小的，直接淘汰；
现期更小、增速反而更大的，基期必然更小，直接淘汰。

例题

2018 年上半年，创意设计服务营业收入 5 143 亿元，增长 15.1%；内容创作生产 8 820 亿元，增长 11.9%；文化消费终端生产 7 911 亿元，增长 4.2%；文化休闲娱乐服务 663 亿元，增长 0.2%。

2017 年上半年，我国文化及相关产业营业收入最高的行业是（　）

A. 内容创作生产　B. 创意设计服务　C. 文化休闲娱乐服务　D. 文化消费终端生产

【解析】

先排除 C 文化休闲娱乐服务：现期只有 663 亿元，比别人小一个量级。
再排除 B 创意设计服务：现期（5 143）比内容创作生产（8 820）小，增速（15.1%）反而更大，基期必然更小。
只剩内容创作生产与文化消费终端生产，把增速小的文化消费终端生产拉平到 11.9%：

拉平增长率 = (11.9% − 4.2%) ÷ (1 + 4.2%) ≈ 7.4%

假设现期 = 7 911 × (1 + 7.4%) ≈ 7 911 + 585 = 8 496

拉平后仍小于内容创作生产的 8 820，所以基期最大的是内容创作生产，选 A。

7.3 增量比

由增量 = 基期值 × 增速可得：

增量比 = 基期比 × 增速比

其中的基期比就可以用拉平增长率求出。

不过要分清适用场景：增量本身好算时，直接把两个增量算出来相除更快；只有增量难算时，才绕道走"基期比 × 增速比"。

例题

2018 年 1 季度，铜产量 221 万吨，增长 8.7%；锌产量 142 万吨，增长 1.7%。

2018 年 1 季度全国铜产量同比增量是同期锌产量同比增量的：

A. 不到 2 倍　B. 2～4 倍　C. 4～6 倍　D. 6 倍以上

【解法一：先算增量再相除】两个增速都小于 10%，用化除为乘（见 5.1）：

铜增量 x₁ ≈ 221 × 8.7% × (1 − 8.7%) ≈ 220 × 8%  ≈ 17.6（万吨）
锌增量 x₂ ≈ 142 × 1.7% × (1 − 1.7%) ≈ 140 × 1.7% ≈ 2.38（万吨）

x₁ ÷ x₂ ≈ 17.6 ÷ 2.38 = 1 760 ÷ 238

不必精算，卡范围即可：

238 × 7 = 1 666 < 1 760 < 1 904 = 238 × 8

在 7～8 倍之间，选 D。

【解法二：基期比 × 增速比】

增速比 = 8.7% ÷ 1.7% ≈ 5.1

拉平增长率 = (8.7% − 1.7%) ÷ (1 + 1.7%) ≈ 7%
锌的假设现期 = 142 × (1 + 7%) ≈ 142 + 10 = 152
基期比 = 221 ÷ 152 ≈ 1.45

增量比 ≈ 5.1 × 1.45 ≈ 7.4

同样选 D。本题增量好算，解法一更省事。

7.4 基期差

已知两方的现期与增速，求它们基期之差，有两条路：

方法一：先求增量，再做减法

基期差 = (现期₁ − x₁) − (现期₂ − x₂)
       = 现期差 − x₁ + x₂

方法二：先拉平，再整体还原

基期差 = (假设现期 − 另一方现期) ÷ (1 + r大)

选用原则与 7.3 一致：增量好算就用方法一，增量难算就用方法二。

例题

2013 年 1—11 月，全国汽车商品累计进口金额为 745.63 亿美元，比上年同期增长 3.2%；出口金额 713.09 亿美元，比上年同期增长 5.2%。

2012 年 1—11 月，全国汽车商品进出口贸易呈现以下（　）种情况。

A. 顺差 32.5 亿美元　B. 顺差 44.7 亿美元　C. 逆差 32.5 亿美元　D. 逆差 44.7 亿美元

进口大于出口，故为逆差，逆差额 = 进口 − 出口，先排除 A、B。

【方法一：先求增量】增速均小于 10%，用化除为乘：

进口增量 x₁ ≈ 745 × 3.1% ≈ 765 × 3% ≈ 23   （3.2% 缩小 3.2% 后约 3.1%）
出口增量 x₂ ≈ 713 × 4.9% ≈ 700 × 5% ≈ 35   （5.2% 缩小 5.2% 后约 4.9%）

现期逆差 = 745.63 − 713.09 ≈ 32.5

基期逆差 = 现期逆差 − x₁ + x₂ ≈ 32.5 − 23 + 35 ≈ 44.5

选 D。

【方法二：拉平增长率】进口增速较低，把进口拉平到 5.2%：

拉平增长率 = (5.2% − 3.2%) ÷ (1 + 3.2%) ≈ 1.94%
进口假设现期 = 745.63 × (1 + 1.94%) ≈ 745 + 15 = 760

假设现期差 = 760 − 713 = 47

此时两边增速统一为 5.2%，把这个差整体还原回基期：

基期逆差 = 47 ÷ (1 + 5.2%)

仍用化除为乘：把 47 看作现期、增速 5.2%，则增量 ≈ 47 × 4.9% ≈ 2.3：

基期逆差 ≈ 47 − 2.3 = 44.7

选 D，逆差 44.7 亿美元。

小结：拉平增长率的本质是"用假设现期换掉一个碍事的增速"。判断把谁拉平只有一句话——把增速小的一方，拉到增速大的那一方，补上 (r大 − r小) ÷ (1 + r小) 这段增长。

八、分式混合（十字交叉）

8.1 原理与结论

用盐水来理解：一杯盐水质量为 m、浓度为 a，另一杯质量为 n、浓度为 b，混合后浓度为 c。

m × a + n × b = (m + n) × c

移项化简：

m × (a − c) = n × (c − b)

(a − c) ÷ (c − b) = n ÷ m

适用条件：两个分式能够合并成一个分式，例如两部分的增速、两部分的人均值、两部分的利润率、两部分的比重等。

对应关系要认准：

盐水	资料分析
浓度 a、b、c	两部分的分式值与混合后的分式值
质量 m、n	两部分的分母（求增速时即为基期值）

定性结论

混合值一定落在两个分式值之间；
混合值更靠近分母大的那一侧。

定量结论

混合值到两端的距离比 = 两个分母的反比

做题顺序：先定性排除，再定量求值。 多数题目定性就能选出答案。

8.2 例题

例题一：定性即可

2015 年河北省油料产量为 79.17 万吨，同比增长 31.2%；水果产量为 126.37 万吨，同比增长 2.4%。

2015 年河北省油料和水果的总产量比 2014 年增产（　）

A. 2.3%　B. 11.9%　C. 16.9%　D. 24.9%

【解析】求的是 31.2% 与 2.4% 的混合值。

混合值必落在 2.4% 与 31.2% 之间 → 排除 A（2.3% 已在区间外）。
若两者基期相等，混合值应为 (31.2% + 2.4%) ÷ 2 = 16.8%。但水果现期更大、增速更低，基期显然更大，混合值要偏向水果一侧，即小于 16.8% → 排除 C（16.9%）、D（24.9%）。

只剩 B（11.9%）。

例题二：定性 + 定量

2016 年，参加城镇职工基本医疗保险的女性 1.4 亿人，比 2011 年增长 21.5%；参加城镇居民基本医疗保险的女性 1.9 亿人，比 2011 年增长了 1.5 倍。

2016 年参加城镇职工和城镇居民基本医疗保险的女性比 2011 年增长了约多少倍？

A. 0.7　B. 1.2　C. 1.7　D. 2.2

【定性】求 21.5% 与 150% 的混合值，必落在两者之间 → 排除 C（170%）、D（220%）。

基期相等时混合值为 (21.5% + 150%) ÷ 2 = 85.75%。谁的基期更大？用拉平增长率（见第七章）判断：

拉平增长率 = (150% − 21.5%) ÷ (1 + 21.5%) ≈ 105.8%
城镇职工的假设现期 = 1.4 × (1 + 105.8%) ≈ 2.9（亿人）> 1.9（亿人）

城镇职工一方基期更大，混合值偏向 21.5% 一侧，小于 85.75% → 排除 B（120%），选 A。

【定量】拉平后的两个现期之比，就等于两者的基期之比：

基期比 m : n = 2.9 : 1.9 ≈ 3 : 2

分母比为 3 : 2，则距离比取反比 2 : 3，全长分成 5 份：

150% − 21.5% ≈ 130%
每份 = 130% ÷ 5 = 26%

混合值 = 21.5% + 26% × 2 = 73.5%

约 0.7 倍，仍选 A。（精确值 72.6%。）

距离比之所以取反比，是因为分母（权重）越大，混合值被"拽"得越近——权重大的一侧距离短。

九、比重类

9.1 两期比重差

设部分量增速为 r₁、整体量增速为 r₂，则：

两期比重差 = 现期比重 × (r₁ − r₂) ÷ (1 + r₁)

推导：基期比重 = 现期比重 × (1 + r₂) ÷ (1 + r₁)，两者相减即得上式。

计算三步走（先定性、再定量，避免多余计算）：

步骤	算什么	定什么
1	增速差 r₁ − r₂	定正负：部分增速快则比重上升
2	再乘现期比重	定量级：比重差恒小于增速差
3	最后除以 (1 + r₁)	定精确值

第 2 步隐含一个常识：现期比重是个小于 1 的数，所以比重差的绝对值一定小于增速差。选项里凡是"比重差 ≈ 增速差"的，多半是陷阱。

例题

2020 年全国社会消费品零售总额 391 981 亿元，同比下降 3.9%；G 省 2020 年社会消费品零售总额 40 207 亿元，同比下降 6.4%。

与 2019 年相比，2020 年 G 省社会消费品零售总额占全国比重（　）

A. 增加了 2.7 个百分点　B. 增加了 0.27 个百分点 C. 下降了 2.7 个百分点　D. 下降了 0.27 个百分点

【解析】

第一步：G 省是部分量，全国是整体量。

r₁ − r₂ = (−6.4%) − (−3.9%) = −2.5%

为负，比重下降 → 排除 A、B。

第二步：现期比重 = 40 207 ÷ 391 981 ≈ 1/10，远小于 1，所以比重差约为 −2.5% × 1/10 = −0.25 个百分点，量级只有 0.几 → 锁定 D。

考场上到这里就可以填答案了。若要精算：

比重差 = (−0.25) ÷ (1 − 6.4%) = (−0.25) ÷ 93.6% ≈ −0.27（个百分点）

除以一个小于 1 的数，绝对值略微变大，正好是 D 的 0.27。

9.2 借助比重增速求整体增速

比重类题目通常不直接讨论增速，但比重本身也有增速，把它当作一个普通分式，就能用比值增长率（见 6.2）反推整体量的增速。

例题

2020 年，全国散装饲料总量 5 897.6 万吨，同比增长 33.6%，占配合饲料总产量的 25.6%，比上年提高 4.6 个百分点。

2020 年，全国配合饲料总产量的同比增速约为（　）

A. 4%　B. 9.6%　C. 19.2%　D. 25.6%

【解析】列式：配合饲料总产量 = 散装饲料总量 ÷ 比重。这是一个比值，分子分母的增速分别为：

分子（散装饲料）r_A = 33.6%

分母（比重）：基期比重 = 25.6% − 4.6% = 21%
             r_B = 4.6% ÷ 21% ≈ 4.4% ÷ 20% = 22%

套比值增长率：

r = (r_A − r_B) ÷ (1 + r_B)
  = (33.6% − 22%) ÷ (1 + 22%)
  = 11.6% ÷ 122%

分子分母同步放大约 2.5%（除法放缩）：

≈ 11.9 ÷ 125 = 11.9 × 8 ÷ 1 000 = 95.2 ÷ 1 000 ≈ 9.5%

选 B。

注意题干中"比上年提高 4.6"必须理解为 4.6 个百分点（基期比重 21%），而不是相对增长 4.6%。若按后者算，结果约 27.7%，选项里根本没有——这也反过来印证了前一种读法。

9.3 部分量的两期差

已知整体量的两期数值与两期比重，求部分量的增量。直接算 整体₁ × 比重₁ − 整体₀ × 比重₀ 是两个大数相减（正是 3.3.7 说的高危场景），改用拆项更稳。

公式一：先固定比重

部分增量 = 整体增量 × 基期比重 + 比重增量 × 现期整体

理解记忆：假如比重不变，部分增量就只有 整体增量 × 基期比重；实际比重涨了，于是再补上 比重增量 × 现期整体。

100 × 75% − 90 × 60%
= 100 × (60% + 15%) − 90 × 60%
= (100 − 90) × 60% + 100 × 15%

公式二：先固定整体

部分增量 = 比重增量 × 基期整体 + 整体增量 × 现期比重

理解记忆：假如整体量两期相等，部分增量就只有 比重增量 × 基期整体；实际整体量涨了，于是再补上 整体增量 × 现期比重。

100 × 75% − 90 × 60%
= (90 + 10) × 75% − 90 × 60%
= 90 × (75% − 60%) + 10 × 75%

两式等价，哪一个的两项更好算就用哪一个。

例题

2010 年，我国总人口约为 134 091 万人，其中 65 岁及以上人口占比约为 8.9%；2011 年，我国总人口约为 134 735 万人，其中 65 岁及以上人口占比约为 9.1%。

2011 年末我国 65 岁及以上人口约比 2010 年末多多少万人？

A. 124　B. 249　C. 327　D. 467

【原始列式】134 735 × 9.1% − 134 091 × 8.9%（两个上万的数相减得三位数，不能硬算）

方法一（公式一）

= 8.9% × (134 735 − 134 091) + 134 735 × (9.1% − 8.9%)
= 8.9% × 644 + 134 735 × 0.2%
≈ 9%  × 640 + 269
= 58 + 269
= 327

方法二（公式二）

= 134 091 × (9.1% − 8.9%) + (134 735 − 134 091) × 9.1%
= 134 091 × 0.2% + 644 × 9.1%
≈ 268 + 650 × 9%
= 268 + 58.5
= 326.5

两种拆法都指向 C。注意两项的量级差了近 5 倍，大项（约 268）必须算准，小项（约 58）可以放心估——这正是 3.3.5 "按选项差距选择估算尺度"的应用。

十、年均变化问题

10.1 年均增长量

年均增长量 = (现期值 − 基期值) ÷ 年份差

关键只在年份差怎么数：基期要不要往前推一年？

严谨口径：说"X 年到 Y 年年均增长"时，X 年本身的增长是相对 X−1 年的，故年份差 = Y − (X − 1)；
不严谨口径：直接取年份差 = Y − X。

**判断方法：看材料给没给 X−1 年的数据。**给了，就说明出题人要你按严谨口径算；没给，就按不严谨口径。

例题一：材料未给前一年数据 → 不严谨

我国 2002 年城镇就业人员约为 24 780 万人，2006 年约为 28 310 万人。

从 2002 年到 2006 年，城镇就业人员年均增长：

A. 883 万人　B. 760 万人　C. 979 万人　D. 820 万人

【解析】材料没有 2001 年数据，年份差取 2006 − 2002 = 4：

(28 310 − 24 780) ÷ 4 = 3 530 ÷ 4 = 882.5（万人）

选 A。

例题二：材料给了前一年数据 → 严谨

2010 年全国文物机构从业人员人数为 102 471 人，2011 年为 111 338 人，2018 年为 162 600 人。

2011—2018 年全国文物机构从业人员年均增加：

A. 7 516 人　B. 7 821 人　C. 8 106 人　D. 8 738 人

【解析】材料特意给出 2010 年数据，说明 2011 年的增长要从 2010 年算起，年份差 = 2018 − 2010 = 8：

(162 600 − 102 471) ÷ 8 = 60 129 ÷ 8 ≈ 7 516（人）

选 A。（若按不严谨口径算是 (162 600 − 111 338) ÷ 7 ≈ 7 323，选项里没有，反过来验证了口径的选择。）

10.2 年均增长率

定义式：

现期值 ÷ 基期值 = (1 + 年均增长率)^年份差

年份差为 2 时，直接用乘积增长率（6.1）：设两年增速同为 r，则 R = 2r + r²，解出 r 即可。
年份差大于 2 时开方很麻烦，用下面的近似技巧。

记总增长率为 R、年份差为 n、年均增长率为 r，则：

r ≈ R/n − (R/n)²

不同 n 下这个近似的偏向是固定的：

年份差 n	适用范围	近似值相对真值	取值方向
3	r < 20%	偏小	结果向上取
4	r < 18%	偏大	结果向下取
5	r < 20%	偏大	结果向下取

误差最大约 1 个百分点，通常远小于此。

解题两步

先估 R/n，由于复利的缘故 r 恒小于 R/n，据此排除所有 ≥ R/n 的选项；
再算 R/n − (R/n)²，按上表方向取值。

例题

2016 年粮食产量为 54 648 万吨，2020 年粮食产量为 60 710 万吨。

2016—2020 年，粮食产量的年均增长率为：

A. 26%　B. 5.6%　C. 2.6%　D. 1.6%

【解析】材料未给 2015 年数据，按不严谨口径，n = 2020 − 2016 = 4。

先求总增长率 R，用除法放缩（分子分母同步放大约 1.6%）：

60 710 ÷ 54 648 ≈ 607 ÷ 546
                ≈ (607 + 10) ÷ (546 + 9)
                = 617 ÷ 555 ≈ 111%

R ≈ 11%

第一步：R/n = 11% ÷ 4 = 2.75%，年均增长率必小于它 → 排除 A（26%）、B（5.6%）。

第二步：

(R/n)² = 2.75%² ≈ 0.08%

r ≈ 2.75% − 0.08% = 2.67%

n = 4，向下取，真值略小于 2.67% → 选 C（2.6%）。

顺带说明第一步为什么成立：若每年都按 R/n 增长，n 年后的总增长会因为复利而超过 R；既然实际总增长只有 R，年均增长率就必然小于 R/n。这一条单独拿出来，往往就能排掉一半选项。

十一、增长贡献率与拉动增长率

这两个概念极易混淆，先把区别摆清楚——分子完全相同，只差一个分母：

概念	定义	分母	单位
增长贡献率	部分增量 ÷ 整体增量	整体增量	%
拉动增长率	部分增量 ÷ 整体基期	整体基期	个百分点

由此立刻得到两者的换算关系：

拉动增长率 = 增长贡献率 × 整体增速

看题干问的是"贡献率百分之几"还是"拉动增长几个百分点"，就能确定用哪一个。

11.1 增长贡献率

增长贡献率是部分增量占整体增量的比重：

增长贡献率 = 部分增量 ÷ 整体增量

把增量按 增量 = 基期值 × 增速 展开，可得第二个形式：

增长贡献率 = (部分基期 × 部分增速) ÷ (整体基期 × 整体增速)
           = 基期比 × 增速比

选用原则

增量好算，或选项差距小、精度要求高 → 用公式一；
增量不好算，且选项差距大 → 用公式二，其中基期比用拉平增长率求。

例题

2012 年全年粮食产量 58 957 万吨，比上年增加 1 836 万吨，增产 3.2%；早稻产量 3 329 万吨，增产 1.6%。

2012 年早稻产量对全年粮食总产量增长的贡献率约为：

A. 3%　B. 8%　C. 15%　D. 1%

【方法二：基期比 × 增速比】选项差距很大，可以放心估算。

增速比 = 1.6% ÷ 3.2% = 1/2

基期比严格来说要先拉平：

拉平增长率 = (3.2% − 1.6%) ÷ (1 + 1.6%) ≈ 1.6%
早稻假设现期 ≈ 3 329 × (1 + 1.6%) ≈ 3 382
基期比 ≈ 3 382 ÷ 58 957 ≈ 5.7%

但本题选项差了好几倍，直接拿现期比 3 329 ÷ 58 957 ≈ 5.6%（5%～6% 之间）代替即可：

贡献率 ≈ 5.7% × 1/2 ≈ 2.9%

选 A。

【方法一：直接求增量】本题整体增量已在材料中给出（1 836 万吨），只需算早稻增量，反而更快：

早稻增量 ≈ 3 300 × 1.6% ≈ 53（万吨）

贡献率 = 53 ÷ 1 836 ≈ 2.9%

同样选 A。材料已经给出整体增量时，优先用公式一。

11.2 拉动增长率

拉动增长率是部分增量占整体基期的比重，答案的单位是"个百分点"：

公式一（基础式，通用）
拉动增长率 = 部分增量 ÷ 整体基期

公式二（拆成两个比值）
= (部分增量 ÷ 部分基期) × (部分基期 ÷ 整体基期)
= 部分增速 × 基期比

公式三（借道贡献率）
= (部分增量 ÷ 整体增量) × (整体增量 ÷ 整体基期)
= 增长贡献率 × 整体增速

三式的中间项都能约掉，回到公式一，本质是同一个东西。

选用原则

公式	什么时候用
一	基础式，通用；增量与整体基期都好算时
二	选项差距大，需要快速估算时
三	题目已经给出增长贡献率时，一步到位

例题一：用公式一或公式二

2017 年我国货物贸易出口 15.33 万亿元，增长 10.8%；其中机电产品出口 8.95 万亿元，增长 12.1%。

2017 年，我国机电产品出口额拉动货物贸易出口总额增长了（　）个百分点。

A. 2.1　B. 7.0　C. 12.0　D. 15.7

【方法二：部分增速 × 基期比】选项差距大，基期比直接用现期比代替：

现期比 = 8.95 ÷ 15.33 ≈ 895 ÷ 1 533 ≈ 9 ÷ 15 = 3/5

拉动增长率 ≈ 12.1% × 3/5 ≈ 7.3（个百分点）

选 B。

这里没有拉平也能选对。若要严格些：机电增速更高，应把整体拉平到 12.1%，拉平增长率 = (12.1% − 10.8%) ÷ (1 + 10.8%) ≈ 1.2%，整体假设现期 ≈ 15.51，基期比 ≈ 8.95 ÷ 15.51 ≈ 57.7%，结果 ≈ 7.0，与 B 完全吻合。

【方法一：部分增量 ÷ 整体基期】

先求机电增量，用份数思想：12.1% 接近 12.5% = 1/8，即基期 8 份、增量 1 份、现期 9 份。

机电增量 ≈ 8.95 ÷ 9 ≈ 0.994（万亿元）

增速被看大了 0.4 个百分点，相对放大 0.4 ÷ 12.1 ≈ 3%，故结果缩回 3%：

机电增量 ≈ 0.994 × (1 − 3%) ≈ 0.97（万亿元）

再求整体基期，用除法放缩（分子分母同步放大约 0.3%，把分母凑成 111.1% = 1/0.9）：

15.33 ÷ 110.8% ≈ 15.38 ÷ 111.1% = 15.38 × 0.9 ≈ 13.84（万亿元）

相除：

0.97 ÷ 13.84 ≈ 1 ÷ 14 ≈ 7.1（个百分点）

同样选 B。

例题二：用公式三

2017 年，我国电信业务收入 12 620 亿元，比上年增长 6.4%；移动数据及互联网业务收入 5 489 亿元，比上年增长 26.7%，对收入增长贡献率达 152.1%。

2017 年移动数据及互联网业务收入拉动电信业务收入增长约（　）个百分点。

A. 7.2　B. 8.2　C. 9.7　D. 10.7

【解析】题目已经给出增长贡献率，直接套公式三，材料里的 12 620、5 489、26.7% 全是干扰项：

拉动增长率 = 增长贡献率 × 整体增速
           = 152.1% × 6.4%

把 152.1% 看作 150% = 1 + 1/2，拆成加法算：

≈ 6.4% + 6.4% ÷ 2 = 6.4% + 3.2% = 9.6（个百分点）

选 C。

贡献率 152.1% 大于 100%，说明该业务的增量比整个电信业务的增量还大——即其他业务合计是负增长。看到贡献率超过 100% 不必怀疑抄错了数，它是有实际含义的。

本章小结：两个指标同分子、不同分母，抓住 拉动增长率 = 增长贡献率 × 整体增速 这一条就不会记混。做题时先看问的是"%"还是"个百分点"，再看材料是否已给出整体增量或贡献率——给了就直接用，没给才动手拆。