数量关系（一）：和差倍比、还原、盈亏、年龄、周期
行测数量关系的第一块硬骨头是和差倍比。表面上看是五类不同的题（和差倍比、还原、盈亏、年龄、周期）， 但真正考的只有两件事：找不变量，和把比例通分成同一个”份”。把这两点吃透，后面四类题基本都是它的变体。
这篇是我整理的第一篇数量关系笔记，既是自己复盘，也顺手把别人讲义里那些我当时没看懂的坑点标出来。
一、和差倍比：先找不变量，再通分
1.1 核心思路
遇到和差倍比题，第一件事不是列方程，而是问自己：什么东西没变？
不变量只有三种可能：
- 某一方不变（比如”白球没动，只加红球”）
- 两方之和不变（比如”互相给钱，总钱数不变”）
- 两方之差不变（比如年龄问题里，两人年龄差永远不变）
找到不变量之后，以它为锚点，把前后两个比例通分，让不变量那一栏的份数相等。 这样前后两个状态就处在同一把”尺子”上，实际变化量对应的份数差就能直接算出来。
1.2 例题：某一方不变
原本红球和白球是 3:4，放入 3 个红球后变成了 6:7，求原本红白各多少个？
白球不变，所以盯着白球那一栏通分：
红 : 白
原本 3 : 4 → 21 : 28 （×7）
现在 6 : 7 → 24 : 28 （×4）红球从 21 份变成 24 份，差了 3 份 = 3 个球，所以 1 份 = 1 个。 原本红球 = 21 个，白球 = 28 个。
注意这里不要急着把公式背下来，而是把”盯着不变的那一栏通分”这个动作练成肌肉记忆。
1.3 例题：和不变（互相给钱）
小命和小绿本来钱的比是 8:13，小绿给了小命 12 块，现在比是 4:3，求原本各多少钱？
两人互相给钱，总钱数不变。以”和”为锚点通分：
命 : 绿 : 和
原本 8 : 13 : 21 → 8 : 13 （和 = 21 份）
现在 4 : 3 : 7 → 12 : 9 （×3，让和也等于 21 份）小命从 8 份变成 12 份，涨了 4 份 = 12 块，所以 1 份 = 3 元。 原本：小命 24 元，小绿 39 元。
1.4 例题：差不变（同增同减）
小命和小绿钱的比本来是 12:5，两人各捡到 60 元，现在比是 9:4，求原本各多少钱？
两人同时增加 60 元，差不变。以”差”为锚点通分：
命 : 绿 : 差
原本 12 : 5 : 7 → 60 : 25 （×5）
现在 9 : 4 : 5 → 63 : 28 （×7）小命从 60 份变成 63 份，涨了 3 份 = 60 元，所以 1 份 = 20 元。 原本：小命 1200 元，小绿 500 元。
二、还原问题：列表格，反推或设未知数
2.1 什么时候没有”显而易见”的不变量
比如典型的”给来给去”题：
甲、乙、丙三堆苹果共 108 个，第一次从丙取 22 个放入甲；第二次从乙取 20 个放入甲； 第三次从乙取 6 个放入丙。此时三堆数量相等，求原来各多少？
这种题总和是不变量（苹果没有凭空消失），所以最终每堆 = 108 ÷ 3 = 36 个。 但单独每一堆的变化不直观，必须列表格逆推：
| 时刻 | 甲 | 乙 | 丙 |
|---|---|---|---|
| 第三次（末） | 36 | 36 | 36 |
| 第二次 | 36 | 42 | 30 |
| 第一次 | 16 | 62 | 30 |
| 初始 | 16 | 40 | 52 |
横向为实体（甲乙丙），纵向为时间节点，逆着题目描述一步步还原即可。 关键是顺序不能反，第三次的操作要第一个”撤销”。
2.2 什么时候必须设未知数
如果逆推过程中出现”取出剩下的 1/3”这种比例性操作，直接逆推会很痛苦， 这时候设一个合适的未知数（不一定是最开始的那个时间节点，也可以是最终状态），反而事半功倍。
例：一堆桃子，第一天吃掉 1/3 又 2 个，还剩 8 个，求原来多少个？
分数倒推法：设总数 1，剩下的 (1 − 1/3) 对应的实际数量是 8 + 2 = 10 个，所以总数 = (8 + 2) ÷ (1 − 1/3) = 15 个。
分数倒推法是解决”数量转移类”问题的通用解法，尤其是多天连续”吃掉剩下的几分之几”这种嵌套比例题。
三、盈亏问题：本质就是鸡兔同笼
3.1 两者同构
盈亏和鸡兔同笼的共同思想是：假设全部是其中一方，用实际与假设的差值，反推另一方的数量。
鸡兔共 30 只，脚共 100 只。假设全是鸡 → 脚应有 60 只，实际多出 40 只， 每只兔比鸡多 2 只脚 → 兔 = 40 ÷ 2 = 20 只。
盈亏的结构完全一样：
分糖果，每人 4 个剩 17 个；每人 6 个剩 3 个。几人？多少糖？
- 每人分的数量差：6 − 4 = 2 个/人
- 剩的数量差：17 − 3 = 14 个
- 人数 = 14 ÷ 2 = 7 人，糖 = 4 × 7 + 17 = 45 个
口诀：盈亏之差 ÷ 每人分的差 = 人数（盈盈相减、亏亏相减、一盈一亏相加）。
3.2 进阶：两拨人不同
一筐苹果全给大班每人 5 个余 10 个；全给小班每人 8 个缺 2 个。大班比小班多 3 人。苹果共几个？
思路：把一方人数转换成另一方。假设大班也变成小班的人数（少 3 人）， 那么大班需要的苹果变成 5 × (x − 3) + 10 = 5x − 5 个； 和小班列方程：5x − 5 = 8x − 2 → x = 9（小班），大班 12 人，苹果 94 个。
四、年龄问题：差永远不变
这是和差倍比最”偷懒”的一类题，因为年龄差天生就是不变量。
- 线段法只是把”差”可视化成一段等长线段；本质还是在用差做通分。
- 遇到”当我和你一样大时”这种嵌套时态，画线段 + 标三段相等的差，比列方程更快。
甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才 5 岁”； 乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将 50 岁”。两人现在多少岁？
线段图（差 = a）：
|— 5 —|— a —|— a —|— a —|
乙5 甲现 乙现 甲将=50三段差相等，总跨度 50 − 5 = 45 = 3a → a = 15。 乙现在 = 5 + 15 + 15 = 35，甲现在 = 5 + 15 + 15 + 15… 稍等，从图里数：甲现 = 5 + 2a = 35，乙现 = 5 + 3a 不对——
正确读图：甲现 = 20，乙现 = 35。（注意题目里”甲 < 乙”，别颠倒。）
坑点：一定要先判断谁大谁小。如果”甲到了乙现在的年龄时……”这种句式，说明甲 < 乙，否则时间线就反了。
五、周期与日期问题
5.1 周期核心：抓周期 + 看余数
数列 1,2,3,1,2,3,… 第 107 个是几？
107 ÷ 3 = 35 余 2 → 第 2 个数 = 2。
余数有可加性和可乘性：(a+b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n，所以算 123485649872 ÷ 9 时可以先把各位数字加起来再取余，大幅简化计算。
5.2 三个字的坑：每、隔、过
这是周期题最容易翻车的地方，背下来：
| 表述 | 含义 | 示例（今天周五） |
|---|---|---|
| 第 N 天 | 今天算第 1 天 | 第 2 天 = 周六（+1 天） |
| 过 N 天 | 今天之后 N 天 | 过 2 天 = 周日（+2 天） |
| 每 N 天一次 | 间隔 N−1 天 | 每 2 天 = 下次周六（+1 天） |
| 每隔 N 天一次 | 间隔 N 天 | 每隔 2 天 = 下次周一（+3 天） |
一句话记忆：“每 N 天” = 周期 N；“每隔 N 天” = 周期 N+1。
5.3 闰年判定
- 普通闰年：年份是 4 的倍数，且不是 100 的倍数（如 2004、2020）。
- 世纪闰年：年份是 100 的倍数时，必须同时是 400 的倍数才是闰年（1900 不是闰年，2000 是）。
合起来一句话：“四年一闰，百年不闰，四百年再闰”。
5.4 一个月有几个星期几
这类题不要分类讨论，会越算越乱。正确姿势：从 1 号开始，拆成”4 个整星期 + 零散天数”。
某年 3 月有 5 个星期一和 4 个星期二，则该年的国庆节是星期几？
3 月 31 天 = 4 周 + 3 天。要让星期一有 5 个、星期二只有 4 个，多出的 3 天必须包含周一但不包含周二 —— 也就是 3 月 1 日必须是周六（1 号周六、2 号周日、3 号周一，多出的三天是六日一）。
然后从 3 月 1 日推到 10 月 1 日，数天数即可。
5.5 多人周期相遇：求最小公倍数
甲每 3 天去一次，乙每 4 天，丙每 5 天。2016 年 2 月 10 日相遇，下次何时？
甲每 3 天 → 周期 3；但”每 N 天”实际间隔是 N−1… 等等，这里题目用”每 N 天一次”，按上面的表，周期就是 N。 所以求 [3,4,5] = 60 的最小公倍数 → 60 天后。注意 2016 是闰年，2 月有 29 天。
小结
所有这些题型本质都在做同一件事：在多个状态之间找一个不变的基准，把比例对齐到同一把尺子上。
- 和差倍比：不变量 → 通分
- 还原问题：不变量是总和 → 列表逆推
- 盈亏/鸡兔同笼：不变量是总数 → 用差值反推
- 年龄问题：不变量是差 → 线段法
- 周期问题：不变量是”一个周期的长度” → 看余数
如果你也在备考，发现我哪道题解释得不对、或者有更漂亮的做法，欢迎提出来一起改。